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<<   作成日時 : 2014/03/20 12:09   >>

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 N=3,「1個の正三角形を裁ち合わせて3個の合同な正三角形に」である。さっそく解を紹介する。

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解1 3個の合同正三角形ができる分割として広く知られている、というか、ちょっと考えれば誰でも思いつけて正確な描画もできる解である。(これについては平方根などの計算も不要だろう) そして、世間一般のみならず、ちょっと「裁ち合わせ」をかじった程度のレベルでは、この課題 N=3 について、これ以外の解の前例が見当たらない。検討する前は私も例外ではなく、「でも、この解しかないのか?」と思って検討を始めることにしたわけである。

解2 結果的には解1のわずかな変形と見えるのだが、これに気づくまでにはかなりの時間を要した。(この解についてはまだ続く話がある。が、それは後に回そう)

解3 「N=2 の解1」の手法をもとに考え出した分割で、これまでのところ、解2とともに前例は見当たらない。

解4 「N=2 の解6」 すなわち Harry Lindgren の手法を応用して見つけたものだが…
 これまた Dissections: Plain & Fancy (G.N.Frederickson 1997) で「3個の相似三角形をつくる(うち2個は合同)」方法として紹介されていることに後で気づいた。(P.45) だから、これは解1とともに前例あり、と言うべきだろう。
 なお、汎用的に「3個の相似三角形をつくる(うち2個は合同)」方法ということに関して、解3もその条件を満たしているだろうと思うがどうか。(後でしっかり確認しようっと)

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解2の拡張
 解1〜4をコレクションした後、しばらく間を空けた1月29日(パズル懇話会会誌用に原稿を作成していた頃)の夜、寝る間際に「解2のバリエーションで N=3 の裏返しなし6ピース解は無数にあるのでは!?」と気づいた。そして翌1月30日にきちんと図を描いてみて、そのことをはっきりと確認した。

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 2a は「解2」と同じ図、これを始まりとすることにして2z まで、この間に無数の解がある。2m がその真ん真ん中というわけでもないが、これは解1とは異なる「すべてのピースが三角形」である解なので、記録と記憶にとどめておく価値があると考えて、この図も描いておくことにした。
 さて、無数の分割のし方が存在するのは、もとの1個の正三角形の図中、真ん中の線対称な凹5辺形の部分である。そこだけを拡大すると、

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 図中の太い実線で描いた二つの四角形は合同な凧形であり、破線はその対称軸である。左右それぞれの凧形を同じように、破線を対称軸とする二つの線対称形に分ける、その一方の対を小さな二等辺三角形の方に両方ともくっつけ、もう一方の対は左右の三角形(直角三角形である)にそれぞれくっつける。下に3例を示す。まあ、「二つの線対称形」がどんなペアであってもできあがった計3ピースで正三角形がつくれることを了解してもらうのに3例もいらないかも知れないけれど。

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 と、これで無数解パターンが存在することの説明をし終えた…のだが。

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解2のさらなる拡張
 上の無数解パターンについてパズル懇話会2月例会(2014年2月15日)で発表したところ、間髪を入れず(!)、会員の一人であるS川T博氏から「線対称形でなくてもいいのでは?」と言われた。それだけでは発表中の私には理解できなかったのだが、会終了後にいわいまさか氏が1例を図で示して「こういうことでは?」と言ってくれたのでようやく理解できた。
 「凧形を線対称形に分けなくても無数の解パターンが存在する!」 下図はその3例。

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 凧形を非対称形に分ける際には、左右の凧形に同じように線を引いて裏返しでない合同形2種をつくり、その一方と凧形に挟まれた小二等辺三角形とが必ず1図形を形づくるようにする必要がある。(例図の網掛け部分) この条件をみたしさえすれば計3ピースを並べかえて必ず正三角形がつくれる。このような分割については、S川氏の示唆がなければ私だけではずっと気づけなかっただろう。ここでもS川氏の慧眼に大いに脱帽。(S川さん、私の検討の不備を補ってくれてありがとうございます。パズ懇会誌紙上で、また直にご本人にもすでに礼は述べたが、ここにも記しておきます)

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 以上が N=3 の最善(裏返しなし6ピース)解の、私がこれまでにコレクションできたモノのすべてである。

 「裁ち合わせ」好きと言っても人さまざま、「最善解が一つ見つかればそれで満足」という人はけっこう多いようだ。(特に海外の人…か) そういう人にとって N=3 については解1だけあれば十分満足でバリエーションにはさほどの価値を認めないのかも知れないが、いやいやそこで満足していたらさらなる「新たな発展、展開はないよ」と私は思う。事実、私は N=2 や N=3 の検討を踏まえた先に、まず過去にはなかったであろう「裁ち合わせ」をもとにしたちょっと悩んで遊べるパズルを案出することができた。実は「裁ち合わせ」の検討から面白いメカニカル・パズルができるケースというのはそう多くないというのが私の持論なのだが、それは図形パズルとして正統的に美しく、しかも愉苦しく遊べるレアなものだと思う。(ただし、その正式な情報公開は年内のしばらく先のことになる予定。パズル懇話会例会ではすでにちょこっと披露した)

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 今回の一連の検討のどのNについても、当然ながらストレートに最善解だけを見出すことができたわけではない。N=2 の検討のスタートは10ピース解だったし、N=3 では9ピース解からだった。最善解が見つかった後にはそれらはいずれもほとんど価値を持たなくなるわけだが、なかにはいつか新たな価値が見出されるモノもあるかも知れない。とりあえず、この下に記すことがそうであるとは思わないが、この記事の最後に N=3 検討の裏話的な事柄を二つ。

 裏返しあり6ピース解。

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 夢に出てきた幻の最善6ピース解。

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 もちろん3ヶ月近くこのような検討だけをしていたわけでもないが、断続的にでも長く、折にふれてずっと考え続けていると夢の中にも正三角形やその断片たちが出てきて頭の中で舞い踊るようになる。(もはや病気か) 夢の中ではこれも最善解の一つだった…。

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1 equilateral triangle to N equal ...
 昨年の12月から今年の2月末くらいまで検討を続けた問題。 ...続きを見る
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2014/03/20 12:11

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