Magic Square 330

 盤面の天地を逆さにしても成立する魔方陣があります。

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 次の画像はその2例で、どちらも縦・横・対角線の各列の和が一定であり、全体を 180度回転させてもやはりその性質がそれぞれ保たれています。

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 さて、図右のような4×4方陣はときおりパズル書などで見かけるでしょう。一の位や十の位の数字の位置を交換することで何通りかのバリエーションがつくれますから全く同じ数配置ではないかも知れませんが、原理・数理は同じです。
 これは、フォントにもよりますが、数字の1と8が上下逆転させても同じ数字として読め、6と9が上下逆転により互いに入れかえて読めること、そしてそれら4つの数字を使ってつくった16通りの2桁の数の配置を工夫した結果です。

 でも、図左のような3×3方陣はご覧になったことがないのではないでしょうか?
 こちらは、さらに数字フォントを選べば(※)、2と5も上下逆転可能である、そう考えてそれをもとに私自身がつくったもので、少なくとも私はこれまでこのような3×3方陣を他所で見たことがありません。
 そして、すべて異なる9通りの2桁の数を使った魔方陣で、天地ひっくり返しにしても成立させることができる3×3方陣はこれしかないと思います。(私の考えに漏れがなければ、の話ではあります)


「数字フォントを選べば」と書きました。身近なところではデジタル数字フォントを用いることが考えられたわけですが、魔方陣の盤面に少しレトロ感を出したいと思って自分なりにフォントをつくってみました。

 さあ、天地を逆さにしても自分自身または他の数字として読める数字が、1,2,5,6,8,9の6つになりましたので、このうちの5つを使って5×5方陣をつくることにしました。さらに、その盤面をいくつかのピースに分けて平面詰めパズル仕立てにしようという目論見。二重の意味で、これまでになかったであろうパズルです。

 そのための数字選び。6と9はペアで使わないと天地ひっくり返したときに異なる和になってしまいますから、これは外せません。
 1を外すと和は 330,2を外すと和は 319,5を外すと和は 286,8を外すと和は 253
 このうちの1を外す場合を選ぶことにして、“Magic Square 330” を次のように完成させました。

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 写真では一部のピースを裏返してありますが、Lトロミノ3個,Lテトロミノ4個の計7ピース、 3×3+4×4=25=5×5 です。

【問題】
 縦5列・横5列・対角線2列のどの列の数の和も 330である5×5の魔方陣ができるように、7ピースを枠内に収めてください。魔方陣の完成後に天地をひっくり返すと、それもまた各列の和が 330の魔方陣になっています。


 ここで、「和が3桁の数でそれほど大きくはないにしても、いちいち計算しながらパズルを解かなければならないのは面倒くさいなぁ」と思われる方もいることでしょう。
 実は私自身もそうなのですが、でも大丈夫、数配置の原理・数理さえ把握できれば計算をする必要はありません。その原理は…、って、それを明かしたらこのパズルの興趣の根幹を大きくそぐことになってしまうでしょうから説明・解説はここまでとしておきます。
 また、あまりくどいパズルにならないように難度も抑えています。数字が横に寝ることなく7ピースを5×5に収められる解が実質16通り、魔方陣が成立するのはその中の1通りだけです。

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 1,2,5,6,8,9の6つの数字があるのだから、6×6方陣だってできるのではないか?

 それが数理パズルとしての次なる検討課題だったわけですが、これはどうにも解明困難。
 そこで k16氏に助けてもらって教わった結果は、残念ながら「不可能。望むような6×6方陣をつくることはできない。対角線の条件を外しても解なし」というものでした。「単に魔方陣が成立すればいいだけなら、解は多数」とのことでその一つとして示してくれたのが次の画像のもの、上下にひっくり返すと各列の和がバラバラになってしまいます。

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 では、と。

 ここまで無視してきましたが、0もまた上下逆転させても同じ数字として読めるもの。
 0を使うと、例えば 80 のひっくり返しが 08 となってしまう、それを嫌って使用を控えてきたのですが、そのような表記も許容するとして、0も含めた7つの数字で7×7方陣はできるか?

【課題】
 0,1,2,5,6,8,9の7つの数字を使ってできる49通りの2桁の数(この場合、例えば 08 というように表記されるものも2桁の数とみなすことにする)を7×7方眼の盤面に配置し、縦7列・横7列・対角線2列のどの列の数の和も一定であり、しかも盤面の天地をひっくり返してもその和が保たれるような7×7の魔方陣はできるか?


 これも当然、私の手には負えない問題です。この課題の解明に取り組んで結果が得られた方は、ぜひお知らせください。

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 私の方は、魔方陣テーマ第2弾の平面詰めパズル “Magic Square 176” の製作を進めることにします。
 これは 1,2,5,8の4つの数字を使った4×4方陣なのですが、5×5の後になぜ より易しそうに思える4×4(しかも6ピース)をつくろうとしているのかおわかりになりますか?
 その解説は完成後まで伏せることにしますが、これもくどいほど難しくするつもりはないものの、その実、あるいは5×5よりも難度が高いと感じる方も出てくるパズルになるのではないかと思います。

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  • Magic Square 176

    Excerpt:  4×4魔方陣、平面詰めパズルです。 Weblog: PUZZLE of MINE racked: 2010-11-10 17:37